Содержание и значение математической символики

развитие алгебры в трудах Евклида (365 - ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда

(287-212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260-170 гг. до н. э.) носило

совершенно иной характер: греки оперировали отрезками, площадями, объемами,

а не числами. Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем

геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название

геометрической алгебры.

В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение

уравнения х2 + ax = b2.

Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый

отрезок так, как показано на рисунке.

[pic]

На заданном отрезке АВ (равном a) строили прямоугольник AM со

сторонами (а + х) и x, равновеликий данному квадрату (b2), таким образом,

чтобы избыточная над прямоугольником AL (равная ах) площадь ВМ была

квадратом, по площади равным х2. Сторона этого квадрата и давала искомую

величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади.

Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке

LM строили прямоугольник MG, равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник

AM будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квадрат LF известны,

поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После этого

находили величину DC (равную Ѕa + x) и DB (равную х).

Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с

помощью которого в современных обозначениях решается уравнение указанного

типа:

b2 = ax + х2 = [pic]– [pic]

Конечно же, при таких построениях отыскивались только положительные

корни уравнений: отрицательные числа появились в математике значительно

позже.

С помощью геометрии древним удавалось также доказывать многие

алгебраические тождества. Но каковы эти доказательства! Они безупречны в

отношении логики и слишком громоздки. Вот как формулирует Евклид теорему,

выражающую тождество (а + b)2 = a2 + 2аb + b2. Если отрезок ((() разделен

в точке (() на два отрезка, то квадрат, построенный на (((), равен двум

квадратам на отрезках (((, (() вместе с удвоенным прямоугольником на (((,

(().

Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией,

поверхностью, телом), древние оперировали только однородными величинами;

так, равенство было возможно для величин одинакового измерения.

Такое построение математики позволило античным ученым достигнуть

существенных результатов в обосновании теорем и правил алгебры, но в

дальнейшем оно стало сковывать развитие науки.

Приведенные примеры могут создать ощущение, что математика древних

греков примитивна. Но это не так: созданная ими математика по своему

идейному содержанию глубока и питала идеями и методами математику вплоть до

XVII в. - века научной революции; многие идеи древних получили дальнейшее

развитие в новой математике, созданной усилиями выдающихся умов XVI—XVII

вв.

Накопленные в странах Древнего Востока знания состояли из набора

разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых

конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и

достоверностью. Создание основ математики в том виде, к которому мы

привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится

к VI—V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная

математика, построенная на строгих логических доказательствах.

2.1.2 Алгебра Диофанта.

Новый подъем античной математики относится к III в. н. э., он связан с

творчеством великого математика Диофанта. Диофант возродил и развил

числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений,

которыми пользовались греки.

У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел

обозначения: неизвестной (, квадрата ([pic]), куба ([pic], четвертой

(([pic] (квадратоквадрат), пятой (([pic] (квадратокуб) и шестой степеней

ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал,

величины, записываемые нами в виде x6, x5, x4, x3, x2, x, x-1, x-2, x-3, x-

4, x-5, x-6. Диофант применял знак равенства (символ () и знак [pic] для

обозначения вычитания.

Диофант сформулировал правила алгебраических опeраций со степенями

неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с

натуральными показателями (для m + n [pic] 6), и правила знаков при

умножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены,

производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также

правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с

обратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях

уравнения.

«Арифметика» посвящена проблеме решения неопределенных уравнений. И

хотя Диофант считает число собранием (а это означает, что рассматриваются

только натуральные числа), при решении неопределенных уравнений он не

ограничивается натуральными числами, а отыскивает и положительные

рациональные решения.

Неопределенными уравнениями до Диофанта занимались математики школы

Пифагора в связи с пифагоровой теоремой. Они искали тройки целых

положительных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 + y2 = z2.

Диофант поставил задачу установить разрешимость (в рациональных

числах) и в случае разрешимости найти рациональные решения уравнения F (х,

у) = 0, где левая часть – многочлен с целыми или рациональными

коэффициентами. Он исследовал неопределенные уравнения второй, третьей и

четвертой степеней и системы неопределенных уравнений.

Во второй книге «Арифметики» он так исследует, например, уравнение

второго порядка F (х, у) = 0.

Это уравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению

уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a,

b – такие координаты, т. е. F (a, b) = 0.

Диофант делает подстановку у = b + k (х – а), или y = b + kt, х = а

+ t.

Тогда F (а + t, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b) + ktB (а, b) + t2C (a,

b, k) = 0.

Но F (a, b) = 0, поэтому t = –[pic].

Это означает, что каждому рациональному значению параметра k

соответствует рациональное же значение t, а значит, рациональная точка

кривой. Очевиден геометрический смысл решения: через рациональную точку

кривой (a, b) проводится прямая y – b =k (x – a) и находятся вторая точка

ее пересечения с кривой.

Методы Диофанта впоследствии применяли и развивали арабские ученые,

Виет (1540—1603), Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби (1804—1851), Пуанкаре

(1854—1912).

Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает существенную деталь:

«Наконец, мы желаем здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную

впоследствии сочинениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные

уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку

они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в

культуру греческой математики; более доступными, чем те абстрактные

геометрические формы, которые принимают у Евклида уравнения второй степени

и которые мы встречаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для

выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант и явился главным

посредником в процессе усвоения греческой алгебры арабами, благодаря

которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрождения наук».

2.1.3 Алгебра индусов.

Начиная с V в. центр математической культуры переместился на восток -

к индусам и арабам. Математика индусов резко отличалась от математики

греков она была числовой. Индусы не были озабочены строгостью эллинов в

доказательствах и обосновании геометрии. Они довольствовались чертежами, на

которых у греков основывалось доказательство, сопровождая их указанием:

«Смотри!». Предполагается, что благодаря числовым выкладкам и практическому

эмпиризму индусам удалось постичь теоремы и методы греков, теоретического

обоснования которых они, возможно, по-настоящему не понимали.

Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение

цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел,

обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность

квадратного корня и ввели отрицательные числа.

Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. В этом их

алгебра имеет сходство с алгеброй Диофанта. Они распространили правила

действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над

ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали

греки. Например, им было известно, что

[pic]

Греки, не знавшие отрицательных чисел, решая уравнения,

преобразовывали их так, чтобы обе части уравнения при значении неизвестной,

удовлетворяющей этому уравнению, были положительными. Если этого не

происходило, то менялись условия задачи. Индусы в аналогичных ситуациях не

были стеснены в своих действиях: они либо отбрасывали получающиеся

отрицательные решения, либо интерпретировали их как долг, задолженность.

Отсюда сделан был естественный шаг к установлению правил действий над

величинами при любом выборе знаков этих величин, а также к выявлению

наличия двух корней у квадратных уравнений и двузначности квадратного

корня.

Индусами был сделан шаг вперед по сравнению с Диофантом и в

совершенствовании алгебраической символики: они ввели обозначения

нескольких различных неизвестных и их степеней, которые были, как у

Диофанта, по сути дела сокращениями слов. Кроме того, они искали решения

неопределенных уравнений не в рациональных, а в целых числах.

2.1.4 Алгебра арабов.

Дальнейшее развитие математика получила у арабов, завоевавших в VII в.

Переднюю Азию, Северную Африку и Испанию. Создались благоприятные условия

для слияния двух культур – восточной и западной, для усвоения арабами

богатого математического наследия эллинов и индусской арифметики и алгебры.

Но еще до того как началось усиленное изучение арабами трудов древних

математиков, в 820 г., вышел трактат по алгебре «Краткая книга об

исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из

Хорезма, 787 – ок. 850г. н. э.), где давались числовое и геометрическое

решения уравнений первой и второй степеней.

Название трактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-

джабр» (восстанавливать) означает восстановление отрицательного члена в

одной части уравнения в виде положительного в другой. Например,

преобразовав уравнение

2х2 + Зх -2 = 2х к виду 2х2 + Зх = 2х + 2, мы произвели операцию ал-

джабр.

«Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к

одному; в нашем уравнении подобные члены Зх и 2х, поэтому получим 2x2 + x =

2.

Модификация слова ал-джабр породила более позднее алгебра. Аналогично,

слово алгорифм (алгоритм) произошло от ал-Хорезми.

Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений

вида

ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + bx = c, ax2 + c = bx,

bx + c = ax2, bx = c,

которые формулирует словесно, например, так: «квадраты и корни

равны числу» (ах2 + bх = с). Он высказывает правила, дающие только

положительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти

решения существуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе

геометрической алгебры древних.

От арабов Европа получила следующий способ решения уравнения

х2 + ах = b.

[pic]

Построим квадрат х2, к его сторонам приложим четырехугольники длины х

+ 2а/4 = х + а/2 и ширины а/4. Тогда площадь полученного квадрата [pic]= x2

+ ax + [pic].

Значит, x2 + ax + [pic] = [pic]= b + [pic], [pic]= b + [pic].

Величины b и а известны, поэтому можно построить [pic], откуда х +

[pic]= [pic]-[pic]. Впрочем, ал-Хорезми, приведший в своем сочинении этот

метод, уравнению ах2 + с = bх приписывал два корня.

В трактате приведены некоторые сведения о действиях над

алгебраическими выражениями, примеры решения треугольников много задач о

разделе наследства приводящих к уравнениям первой степени. Таким образом,

трактат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем, что было у

греческих авторов и индусов, но он заслуживает внимания потому, что в

течение длительного времени был руководством, по которому велось обучение в

Европе.

2.1.5 Развитие алгебры в Европе.

Каково же было состояние математики в это время в Европе. Об этом

наука располагает крайне скудными сведениями.

В XII – XIII вв. в Европе интенсивно переводились в арабского языка

как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на

арабский язык.

Первым европейским математиком, которому удалось осветить многие

вопросы и внести в математику свой вклад, был Леонардо Пизанский

(Фибоначчи, 1180–1240), написавший «Книгу абака». В ней рассмотрены

различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра

линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени

точностью и полнотой.

Существо задачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет

res (вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или

quadratus (квадрат); данное число – numerus. Все это латинские пероводы

соответствующих латинских слов.

Современник Леонардо, Иордан Неморарий (XIII в), употреблял буквенные

обозначения более систематично и решал задачи с применением линейных и

квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их

числовыми примерами.

Французский епископ Николь Орем (1323-1382) рассматривал «дробно –

рациональные отношения», соответствующе современным степеням aЅ, aј, a3/2 и

т.д., сформулировал правила операций с этими отношениями типа [pic],

[pic], [pic], [pic], [pic]

Орем вплотную подошел к понятию иррационального показателя. Он доказал

расходимость гармонического ряда 1 + [pic]+[pic]+[pic]+…

Выдающимся алгебраистом своего времени стал монах-францисканец Лука

Пачоли (ок. 1445 – ок.1514) близкий друг Леонардо да Винчи, работавший

профессором Математики в университетах и различных учебных заведениях Рима,

Болоньи, Неаполя, Флоренции, Милана и других городов.

Он ввел «алгебраические буквы» (caratteri algebraici), дал обозначения

квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени; неизвестную х он

обозначал со (cosa – вещь), х2 – се (censo - квадрат, от латинского

census), х3 – cu (cubo), x4 – се. се. (censo de censo), x5 – р°г° (primo

relato – «первое relato», x6 – р°г° х – се. cu. (censo de «второе

relato»), х8 – ce. ce. ce. (de censo), x9 – cu. cu. (cubo de cubo), x10 –

ce. p°r° (censo de primo relato), x13 – 3°r( (tersio relato - «третье

relato») и т. д.; свободный член уравнения – n( (numero – число). Как

видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с

помощью показателей 2 и 3 (х4 = х2(2 , х6 = х2(3, х9 = х3(3 и т. д.), а в

случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato (например, при

образовании х5, х7, х11 и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил

вторую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он

воспользовался знаком [pic] (plus – больше), для обозначения вычитания –

знаком [pic] (minus – меньше). Он сформулировал правила умножения чисел,

перед которыми стоят знаки [pic]и [pic].

Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил

замечанием о том, что для решения кубических уравнений х3 + ах = b и х3 + b

= ах «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ

квадратуры круга».

Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал

бакалавр медицины Н. Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о

числах в трех частях» изложил правила действий с рациональными и

иррациональными числами и теорию уравнений. Для сложения и вычитания он

вслед за Пачоли пользовался знаками [pic] и [pic], причем, знак [pic]

служил и для обозначения отрицательного числа. Неизвестную величину он

называл premier («первое число»), а ее степени – вторыми, третьими и т. д,

числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например,

современные символы 5, 5ж, 5х, 5х2, 5х3 у него выглядели бы так: 5°, 51,

52, 53. Вместо равенства 8х3(7х-1 = 56х2 Шюке писал: «83, умноженное на

71([pic], дает 562». Таким образом, он рассматривал и отрицательные

показатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти

числа «имеют имя нуль».

Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки

Пачоли достигли немецкие алгебраисты – «коссисты». Они вместо [pic] и

[pic]ввели знаки + и –, знаки для неизвестной, и ее степеней, свободного

члена.

XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем

виде уравнений третьей и четвертой степеней.

Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида

x3 + ax = b a,b >0. (1)

Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х = [pic]-

[pic], где u – v = b, uv = [pic], откуда u и v находятся как корни

квадратного уравнения.

Также он нашел решение уравнения x3 = ax + b a,b >0 (2)

в виде х = [pic]+ [pic], где u + v = b, uv = [pic].

Уравнение же x3 + b = ax a,b >0 можно решить с помощью уравнения (2).

В те времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи,

сводящиеся к отрицательным корням уравнения (2), преобразовывали так, чтобы

они приводили к положительным корням уравнения (3). Лишь Кардано позже

осознал выгоду рассмотрения отрицательных корней.

Почему рассматривались только уравнения вида (1) и (2)? На этот вопрос

ответ дал Кардано.

Чтобы разобраться в нем, рассмотрим полное уравнение третьей степени.

y3 + ay2 + by + c = 0.

Не следует думать, что Тарталья и Кардано писали такие уравнения. Нет,

так стали поступать гораздо позже. Записывать все члены уравнения в одной

части, приравнивая к одной части, начал Декарт. Да и символики не было,

пользовались прообразами символов и словами. Уравнение x3 + ax = b

записывалось примерно так: «куб» (х3) [pic]некоторое количество (а) «вещей»

(х) равно данному «числу» (b). Понять можно, но оперировать сложно.

Полное уравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с

квадратом неизвестной. Сделаем замену y = x + a и подставим в уравнение;

получим х3 + (3( + а)х2 + (3(2 + 2(а + b)x + ((3 + a(2 + b( + c) = 0.

Положим 3( + а = 0. Найдем отсюда ( = - а/3 и подставим в выражения

p = 3(2 + 2(а + b, q = (3 + а(2 + b( + c.

Тогда уравнение примет вид х3 + px + q = 0.

В нашей символике это уравнение соответствует уравнениям (1), (2),

которые решал Тарталья.

Кардано узнал способ решения уравнений третьей степени, предложенный

Тартальи, опубликовал его. Формула же стала носить название «формулы

Кардано».

Выведем теперь ее.

Рассмотрим уравнение х3 + px + q = 0. Введем новые неизвестные x = u +

v и подставим их в исходное уравнение; получим u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) +

q = 0.

Приравняем 3uv + p к нулю: 3uv + p = 0.

Уравнение примет вид u3 + v3 + q = 0. Тогда uv = – [pic], u3v3 =

–[pic] , u3 + v3 = -q.

Выражения u3 и v3 можно принять за корни квадратного уравнения z2 + qz

–[pic] = 0.

Решая его, получим z1 = – [pic] + [pic], z2= – [pic]– [pic].

Таким образом, x = u + v = [pic]+[pic], x =[pic]+[pic].

Это и есть формула Кардано. Не лишне заметить, что в таком виде

Кардано ее не искал: он формулировал решение уравнений (1) и (2) и

рассматривал связь между уравнениями (2) и (3).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5