Содержание и значение математической символики

В случае, когда [pic]+[pic]0.

Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую

части уравнения в квадрат:

(х2 + ах - b)3 = x4 + a2x2 + b2 + 2ax3 – 2bx2 – 2abx = 0

Полученное уравнение можно переписать:

x4 + 2ах3 + 2а2x2 – а2x2+ b2 – 2bх2 – 2abx = 0.

Исключим 2ах3 + 2a2x2, воспользовавшись тем, что b = х2 + ax:

2ах(х2 + аx) = b2аx, 2ах3 + 2a2x = 2abx.

Тогда x4 + 2abx – а2x2 + b2 – 2bx2 – 2abx = 0, x4 – a2x2 + b2 –

2bx2 = 0.

Теперь осталось исключить x2; из исходного уравнения найдем: x2 = b –

ax и подставим в последнее:

x4 – (a2 + 2b)x2 + b2 = 0, x4 – (a2 + 2b)(b – ax) + b2 = 0,

x4 + (2ab + a3)x = b2 + a2b

Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те

положительные корни, которые были у исходного квадратного.

Для нахождения трехчленного уравнения третьей степени Виет в качестве

исходного брал уравнение

ax – x2 = ab

и умножал его левую и правую части на х + b; это при водило к

уравнению

(а – b)х2 – х3 = ab2

с теми же положительными корнями, которые были у квадратного.

И еще один частный вопрос рассмотрел Виет. В уравнении

ахm – xm+n = b

имеющем по условию два корня, он определил коэффициенты, при которых

корни уравнения имели бы заданные значения.

Пусть эти корни у и z. Тогда

a =[pic], b = [pic]

Ту же задачу он решил относительно уравнения

xm+n + axm = b, где m + n – число четное, m – нечетное.

Чрезвычайно важно то, что Виет распространил известные ранее частные

преобразования на все алгебраические уравнения. Подстановку х = у + k,

применявшуюся Кардано для исключения из кубического уравнения члена второй

степени, он применил к уравнениям любой степени. Также известную Кардано

обратную подстановку х = k/y Виет употреблял, чтобы освободиться в

некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей.

Например, уравнение х4 – 8х = [pic]подстановкой х = [pic] он преобразовал к

виду y4 + 8у3 = 80. Подстановкой х = [pic]y Виет преобразовывал уравнение n-

й степени так, что коэффициент при члене (n -1)-й степени (a) становился

равным b, в то время как старший коэффициент оставался равным единице.

Подстановку х = ky он применял, чтобы избавиться от дробных коэффициентов.

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению

уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями

уравнения и его коэффициентами. Первоначальные сведения и по тому, и по

другому вопросу были у Кардано.

Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро и Тартальи,

решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители. В

уравнении

2х3 + 4x2 + 25 = l6x + 55

с этой целью он прибавлял к обеим частям 2x2 + 10x + 5. Затем

преобразовывал его к виду (2х + 6)(х2 + 5) = (х + 10)(2х + 6), сокращал на

2х + 6 и получал квадратное уравнение.

Кардано же при нахождении положительного корня уравнения х3 + b = ах

складывал его почленно с уравнением у3 = ay + b, получал из них квадратное

уравнение делением на х минус известный отрицательный корень х – (–у).

Такое преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при

члене второй степени в правой части кубического уравнения равен сумме его

корней. Это был первый шаг к установлению зависимости между корнями и

коэффициентами алгебраического уравнения.

Виет составил полные уравнения с заданными положительными корнями

вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при xn-1, xn-

2, xn-3, ... Он установил, что эти коэффициенты при условии, что старший

коэффициент равен 1 или –1 (свободный член в правой части должен был стоять

со знаком +), представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы:

самих корней, парных произведений их, произведений корней, взятых по три, и

т. д. Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не

дошла. Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имеет и

отрицательные корни. Но, скорее всего, это не представляло для Виета особых

трудностей: достаточно было сделать в уравнении замену х = –у и можно

оперировать с положительными корнями нового уравнения. Такие примеры в его

работах встречались. Если уравнение х3 + q = рх имеет два положительных

корня х1 и х2, то уравнение y3 = ру + q – один положительный корень у1 =

–х3 причем у1 = х1 + х2 (это знал Кардано), x12 + x22 + x1x2 = p, x1x2(x1

+ x2) = q.

Как видим, в исследованиях Виета встречались начала теории

симметрических функций и разложения многочленов на линейные множители, что

вскоре привело к открытию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения

произвольной степени. Эти исследования Виета продолжили математики

следующего поколения Т. Гарриот (1560— 1621), А.Жирар (1595-1632), Р.

Декарт (1596-1650).

2.3 Символика Декарта и развитие алгебры.

В сочинении «Исчисление г. Декарта» неизвестный автор изложил

арифметические основы математики Декарта. Они писал: «Эта новая арифметика

состоит из букв a, b, c и т.д., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д. Если цифры

стоят перед буквами, например, 2а, 3b, 1/4с, то это означает, что величина

а берется двойной, величина b – тройной, а от величины с берется четверть.

Но если они находятся позади букв, например, а3, b4, c5, то это означает,

что величина а умножается сама на себя три раза, величина b – четыре раза,

а величина с – пять раз». «Сложение производится с помощью такого знака +.

Так, чтобы сложить а и b, я пишу а + b. Вычитание производится с помощью

такого знака –. Так, чтобы вычесть а из b, я пишу b – a и т. д. Если в

вычитаемом выражении есть несколько частей, то у них в нем изменяются лишь

знаки. Так, если из d требуется вычесть а – b + с, то останется d – а + b –

–с. Точно так же при вычитании а2 – b2 из с2 – d2 останется с2 – d2 – а2 +

b2. Но если имеются присоединенные цифры и члены одинакового вида, то их

следует подписывать друг под другом и производить их сложение и вычитание

как в обыкновенной арифметике... Если требуется умножить одну букву на

другую, то их следует лишь соединить вместе, но если имеются

присоединенные, числа, то они следуют законам обыкновенной арифметики. Что

касается знаков, то известно, что + на + дает в произведении + и что –,

умноженный на –, также дает в произведении +. Но + на – или же –,

умноженный на +, дает в произведении –».

Точно так же определялись действие деления, операции с дробями «по

правилам обыкновенной арифметики». Вот рассуждение о корне: «Когда корень

извлечь из квадрата нельзя, его квадрат помещают под связку [pic], чтобы

отметить, что его следует рассматривать как корень, и тогда его корень

называют иррациональной величиной».

Из всего этого видно, как далеко зашла формализация алгебраических

действий по сравнению с тем, что было у древних греков и у предшественников

Декарта; видно также, что надобности в геометрической интерпретации алгебры

уже нет.

Формализации алгебры (и всей математики) чрезвычайно способствовало

то, что Декарт усовершенствовал буквенную символику. Он обозначал известные

величины буквами а, b, с, . . ., неизвестные («неопределенные») – буквами

x, y, z, .... Он ввел обозначения степеней: a2, a3 , х3 , . . . Правда,

квадраты величин он выражал и с помощью символов аа, хх. Обозначение корня

несколько отличается от современного. Так, выражение [pic]означает один из

кубических корней, входящих в формулу Кардано.

Все буквы в формулах Декарта считались положительными величинами; для

обозначения отрицательных величин ставился знак минус; если знак

коэффициента произволен, перед ним ставилось многоточие. Знак равенства

имел необычный вид [pic]. Вот как, например, выглядело уравнение с

произвольными коэффициентами:

+x4…px3…qx…[pic] 0.

И еще один символ применял Декарт: он ставил звездочки, чтобы показать

отсутствующие члены уравнения, например:

x5*** – b [pic] 0.

Другие математики того времени тоже пользовались символикой, близкой к

разработанной Декартом, а древние греки излагали свои мысли вообще без

символики. Ферма построил аналитическую геометрию, располагая запасом

употребляемых до него алгебраических средств. «...все это может побудить

нас недооценить те успехи, которые поставлены здесь во главу всей

математической деятельности Декарта. Значение этих успехов становится,

однако, понятным, если мы примем во внимание, как часто мы должны были для

изложения идей более ранних авторов прибегать к пользованию алгебраической

формой Декарта; без нее мы вряд ли смогли бы это сделать сколь-нибудь сжато

и наглядно. Мы смогли воспользоваться этой алгебраической формой, с одной

стороны, потому что декартова трактовка алгебры благодаря своим

преимуществам получила ныне широкое распространение, и знакомство с ней

происходит уже в школе. С другой стороны, она уже сама по себе в большой

мере расчистила путь многому, что раньше могло быть изложено лишь весьма

громоздким образом и было поэтому доступно лишь очень способным

математикам» (Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках, с. 202)

Иными словами, разработка и введение алгебраической символики сделали

математику более демократичной.

Уравнения, по утверждению Декарта, представляют собой равные друг

другу суммы известных и неизвестных членов или же, если рассматривать эти

суммы вместе, равны «ничему» (нулю). Декарт указал, что «уравнения часто

удобно рассматривать именно последним образом», т. е. в виде Р (х) = 0. Для

теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла важную роль.

Этой формой он пользовался при установлении числа корней

алгебраического уравнения, что привело к формулировке основной теоремы

алгебры: число корней уравнения (положительных - «истинных», отрицательных

- «ложных» и мнимых - «воображаемых») равно числу единиц в наивысшем

показателе степени входящей в уравнение неизвестной величины.

Справедливость теоремы он аргументировал тем, что при перемножении n

двучленов вида х – а получается многочлен степени n. Недостающие

«воображаемые» корни, природу которых Декарт не разъясняет, можно

примыслить.

Если все корни положительны, то, по словам Декарта, дело обстоит так:

«Знайте, что всякое уравнение может иметь столько же различных корней или

же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений; ибо

если, например, принять х равным 2, или же х – 2 равным ничему, а также х =

3 или же х – 3 = 0, то, перемножив оба эти уравнения x – 2 = 0 и x – 3 =

0, мы получим хх – 5х + 6 = 0, или же хх = 5x – 6, уравнение, в котором

величина х имеет значение 2 и вместе с тем значение 3.

Если принять еще, что х – 4 = 0 и умножить это выражение на хх – 5x +

6 = 0, то мы получим х3 – 9хх + 2бх – 24 = 0, другое уравнение, в котором

х, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем три значения, а именно 2,

3 и 4»

Если же «х выражает собой также недостаток какой-нибудь величины,

скажем 5, то мы получим х + 5 = 0». Умножив х + 5 на левую часть

предыдущего уравнения и приравняв результат нулю, получим

x4 – 4x3 – 19xx + 10бх – 120 = 0, (1)

«уравнение, у которого четыре корня, именно три истинных 2, 3, 4 и один

ложный –5».

Построение левой части уравнения в виде произведения двучленов

приводит к тому, что степень уравнения можно понизить, разделив левую часть

его на х – a, где а – корень уравнения. С другой стороны, если такое

деление невозможно, то число а не будет корнем уравнения. Левую часть

уравнения (1), например, можно разделить на х – 2, х – 3, х – 4, х + 5 и

нельзя разделить на любой другой двучлен х – а; «это показывает, что оно

может иметь лишь четыре корня: 2, 3, 4 и –5».

Декарт сформулировал правило знаков, дающее возможность установить

число положительных и отрицательных корней уравнения: «Истинных корней

может быть столько, сколько раз в нем изменяются знаки + и –, а ложных

столько, сколько раз встречаются подряд два знака + или два знака –».

Впоследствии он внес уточнение: при наличии мнимых («невозможных») корней

уравнения число положительных корней может (а не должно) быть равным числу

перемен знаков. Декарт высказал правила и на примерах показал, какие

следует выполнять преобразования, чтобы изменить знаки корней уравнения,

увеличить или уменьшить корни, получить уравнение, не содержащее второго

члена, и т. д. «Легко, далее, сделать так, чтобы все корни одного и того же

уравнения, бывшие ложными, стали истинными, и вместе с тем все бывшие

истинными стали ложными; именно это можно сделать, изменив на обратные все

знаки + или –, стоящие на втором, четвертом, шестом и других, обозначенных

четными местах, не изменяя знаки первого, третьего, пятого и им подобных,

обозначенных нечетными числами мест».

Применив такое преобразование к уравнению (1), получим уравнение

х4 + 4x3 - 19хх – 106x - 120 = 0, (2)

имеющее один положительный корень 5 и три отрицательных: –2, –3, –4.

Можно, не зная корней уравнения, увеличить или уменьшить их на какую-

либо величину, для чего необходимо сделать соответствующую замену.

Например, уравнение (2) после замены х = у – 3 преобразуется к виду y3 –

8у2 – у + 8 == 0; его положительный корень 8 превышает положительный корень

уравнения (2) на 3.

Декарт заметил, что, «увеличивая истинные корни, мы уменьшаем ложные и

наоборот», при этом он имел в виду абсолютные величины корней.

Правило исключения второго члена уравнения, известное еще Виету,

Декарт иллюстрировал примерами.

Так, уравнение y4+ 16y3 + 71y2 – 4y –120 = 0 подстановкой z – 4 = у он

сводил к

z4 – 25z2 – 60z – 36 = 0; его корни –3, -2, -1, 6.

Второй член уравнения x4 - 2ах3 + х2 (2а2 - с2) - 2aзx + а4 = 0 он

исключал подстановкой х = z + [pic]a его к виду z4 + z2 ([pic]a2 – c2) – z

(a3 + ac2) + [pic]a4 – [pic]a2c2 = 0.

Декарт говорил, что можно также «сделать, чтобы все ложные корни

уравнения стали истинными, но истинные не стали ложными». Он утверждал,

что легко приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней

уравнения. В этом можно усмотреть постановку вопроса о границах

действительных корней уравнения, которому впоследствии уделил большое

внимание Ньютон.

Для умножения и деления неизвестных корней уравнения на число,

приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт

пользовался теми же подстановками, которые были известны и Виету.

Рассмотрим пример.

Если положить у = х[pic] и z = 3у, то уравнение

x3 – x2[pic] + [pic]x – [pic] = 0

преобразуется последовательно в уравнение

y3 – 3y2 + [pic]y – [pic] = 0, а затем в z3 – 9z2 +

26z – 24 = 0.

Корни окончательного уравнения 2, 3, 4; предыдущего – [pic], 1, [pic];

первого – [pic][pic], [pic][pic], [pic].

О «воображаемых» (мнимых) корнях уравнения Декарт писал: «Как

истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь

иногда лишь воображаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообразить

себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не

существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым

корням. Так, например, хотя у уравнения х3 – 6xx + 13x –10

= 0 можно вообразить себе три корня, но на самом деле оно имеет только один

действительный, именно 2. Что касается двух других корней, то сколько бы их

ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как я только что объяснил, все

равно их не удастся сделать иными, чем воображаемыми».

Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом –

задача приводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с

рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов

низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с

целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с

помощью циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных

радикалах) тогда и только тогда, когда уравнение имеет целый корень (т. е.

левая часть его может быть представлена в виде произведения множителей

первой и второй степеней).

Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости;

оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т. е.

соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно у2.

Декарт не показал, как он получил окончательный результат. Ф. Схоотен

вывел резольвенту с помощью метода неопределенных коэффициентов. Он

представил многочлен четвертой степени в виде x4 – px2 – qx + r = (x2 + yx

+ z)(x2 – yx +v), откуда получил уравнения для нахождения у, z, у: z – y2 +

v = –p, –zy+vy = –q, vz = r.

Разрешающее уравнение (резольвента) имеет вид у6 – 2ру4 + (р2 – 4г)y2

– q2 = 0.

В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решал уравнения

третьей, четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая их корни как

пересечение некоторых линий.

Вклад Декарта в математику не ограничивается одной «Геометрией»: в его

переписке содержатся решения многих задач, в том числе связанных с

бесконечно малыми.

§3 Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа.

Лейбниц внес большой вклад в развитие математического анализа. Ему

принадлежит создание многих символов, которые мы используем сейчас,

например, dx, ddx,…, d2x, d3x, [pic], [pic]. Но символы эти появились у

Лейбница не сразу. Первоначально выражение [pic]= хu [pic] (1)

у него выглядело следующим образом: omn. xw = ult. х(omn. w – omn.

omn. w. При этом он еще не употреблял привычного нам знака равенства.

В этом выражении omn. – начальные буквы латинского слова omnia, т. е.

все, – обозначает объединение, суммирование «всех» бесконечно малых

элементов, стоящих под этим знаком, х обозначает абсциссу точки на кривой,

исходящей из начала координат, w в этих выкладках Лейбница обозначает то

элемент дуги (ds), то дифференциал ординаты (dy), ult. – начальные буквы

латинского слова ultima (т. е. последняя) – относится к абсциссе.

Для Лейбница в данном случае его omn.w выступает в роли новой функции,

которая сама становится объектом операции, обозначенной omn. Как это

обстоятельство, так и то, что он рассматривает результат многократного

применения преобразования вида (1) и получает выражения, в которых операция

omn. наслаивается несколько раз, заставило его искать более удобное

обозначение, и в записи от 29 октября мы читаем: полезно писать [pic]вместо

omn., так что [pic] будет вместо omn.[pic] ([pic]- это начальная буква

слова summa и Лейбниц называет этот знак суммой). И для нового исчисления,

как в той же записи выражается Лейбниц, имеем

[pic], [pic], [pic]=[pic],

[pic].

Первое из этих соотношений соответствует преобразованию (1), а, b -

постоянные, черта сверху играет роль скобки, и она, собственно, лишняя, да

и Лейбниц не всегда ее пишет, но ее, пусть несистематическое, появление

характерно: так, в записи х[pic] мы видим, что пишущему кажется необходимым

дополнительно указать, что на х действительно умножаются все [pic],

собранные в сумму знаком [pic]. Лейбниц далее записывает (по поводу формул

(2) и их вариантов): «Это достаточно ново и примечательно, поскольку

указывает на новый вид исчисления», и переходит к обратному исчислению

(contrario calculo), вводя символ d, который «уменьшает измерение так, как

увеличивает [pic]», но пишет его в знаменателе (не dy, a y/d).

Тут же читаем: [pic]обозначает сумму, d - разность. Несколькими днями

позже, в рукописи, помеченной 10 ноября, Лейбниц записывает: «dx — то же

самое, что x/d, то есть разность между двумя ближайшими».

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5