Содержание и значение математической символики

Замечательно то, что Лейбниц сразу, введя новое обозначение, начинает

с ним обращаться как с символом операции, отделяя его от объекта операций:

он сразу отметил, что его «сумма» от (двух) слагаемых равна сумме

«сумм» слагаемых и что постоянный множитель или делитель можно выносить за

знак «суммы». В записях последующих дней (от 1, 10, 11 ноября) он

отмечает такие же свойства операции, обозначенной через d. За эти

дни Лейбниц убедился, что d(xy) не то же самое, что dx(dy, и что d(x/y) (

dx/dy, но не вывел еще соответствующих формул. Отметил он и что [pic],

конечно, не то же самое, что [pic]. Он уже систематически использует

обратность действий [pic]и d, например, после равенства [pic] он пишет: или

wz = y2/2d (тут d еще в знаменателе). Отмечены им уже формулы для

производной степенной функции при целых показателях степени, например, «из

квадратуры треугольника ясно, что y2/2d = у; [pic]= [pic] из квадратуры

параболы».

А в том, что он открывает здесь нечто весьма существенное, Лейбниц,

вероятно, окончательно убедился, когда смог использовать пока как бы

нащупываемый им алгоритм при решении задач на обратный метод касательных.

Он писал: «Еще в прошлом году я поставил перед собой вопрос, который можно

отнести к труднейшим во всей геометрии, поскольку распространенные до сих

пор методы здесь почти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я

приведу его анализ».

Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой, у которой

поднормали обратно пропорциональны ординатам. Такая задача сводится, в

современных обозначениях, к решению дифференциального уравнения ydy/dx =

k/y, где k - постоянная. Решение Лейбница состоит по сути в составлении

такого уравнения и последующем его интегрировании с помощью разделения

переменных. Он получил, таким образом, уравнение искомой кривой, и она

оказалась кубической параболой.

По записям Лейбница видно, что к середине 1676 г. он, располагая уже

всеми основными правилами дифференцирования и интегрирования, решил еще

несколько задач на обратный метод касательных, в том числе знаменитую в

XVII в. задачу де Бона, предложенную в свое время Декарту, который не смог

получить ее общее решение. И это результат вполне самостоятельного хода

мыслей. То, что Лейбниц знал к тому времени относительно результатов

Ньютона и Грегори, никак не могло помочь ему пройти избранный им путь.

Операционный подход Лейбница к проблеме и его поиски рациональной символики

для нового исчисления, в чем наиболее полно выразилась творческая

индивидуальность Лейбница, были в достаточной мере чужды его английским

соперникам.

Примерно через год после открытий 1675 г., во время поездки по

Голландии и после встречи там с Гудде, Лейбниц составил заметку,

озаглавленную «Дифференциальное исчисление касательных». Она начинается

записями:

d[pic] = 1, d[pic] = 2x, d[pic] = Зх2 и т. д.

d[pic]= –[pic], d[pic] = –[pic], d[pic]= – [pic] и т.

д.

d[pic]=[pic] и т. д.

Отсюда выводится общее правило для разностей и сумм простых степеней:

d[pic]= exe-1 и, напротив, [pic]=[pic] (горизонтальная черта сверху

означает взятие в скобки).

Как видно, здесь знак d обозначает операцию вычисления производной. Но

Лейбниц еще не вполне выработал к тому времени свою символику и чуть ниже

можно прочитать, что «общее правило устанавливается так: [pic]и, наоборот,

[pic]». Такая редакция общего правила следует за замечанием: «пусть

у = x2, тогда будет [pic]= 2x[pic], следовательно, [pic]= 2x». И на полях,

вероятно, позже, Лейбниц написал, что это отличное замечание к его

исчислению разностей: «если by[pic]+ [pic] + etc. = 0, то b[pic]+[pic] = 0,

и так с остальными». Здесь он начинает свободно обращаться с

дифференциалами, как это ему удобно при решении дифференциальных уравнений,

не предопределяя, какое из переменных независимое, какое функция.

Дальше в том же наброске следует замечание, что вот, «возьмем какое-

либо уравнение (но берется уравнение алгебраической кривой, притом второго

порядка) ... и напишем у +dy вместо у и подобным образом x + dx вместо х,

тогда, опустив то, что опустить надлежит, получим другое уравнение» (т. е.

оставляются только слагаемые первого порядка относительно дифференциалов, и

это показано на примере).

Отсюда вытекает правило, обнародованное Слюзом, продолжает Лейбниц, и

это, конечно, верно. Тут же он добавляет, что «мы бесконечно расширим это

правило: пусть букв будет сколько угодно и из них составлена формула,

например, из трех букв...». И Лейбниц сопоставляет уравнение алгебраической

поверхности опять-таки второго порядка и небезупречно составленное путем

дифференцирования соотношение между дифференциалами, чтобы заявить без

дополнительного обоснования: «Отсюда явствует, что по такому методу

получаем касательные плоскости поверхностей, и не имеет значения при этом,

существует ли еще иное соотношение между теми же буквами х, у, z, его ведь

можно будет подставить позже».

Конечно, указание на то, как определить касательную плоскость к

поверхности, следовало еще развить, что в рассматриваемом отрывке

отсутствует, но мы видим здесь пример того, как Лейбниц постепенно, по

разным поводам, возвращается к своему исчислению, расширяет область его

применения, наряду с новыми результатами получает с его помощью известные

старые.

В 1678 г. Чирнгаус заявил Лейбницу, что надо по возможности избегать

новых обозначений, ибо это только затрудняет доступ к науке. Вот Виет

заслуживает похвалы за то, что обходится буквенными обозначениями, не вводя

новых чудовищных знаков. Лейбниц, возражая подчеркивал, что надо искать

обозначения, которые кратко выражают сокровенную сущность предмета,

облегчая путь к открытиям и значительно уменьшая затрату умственного труда.

И таковы, продолжал Лейбниц, использованные мною знаки – я часто с их

помощью в несколько строк решаю самые трудные задачи.

В 1684 г. в «Лейпцигских ученых заметках» появилась одна из самых

знаменитых математических работ: «Новый метод максимумов и минимумов, а

также касательных, для которого не являются препятствием ни дробные, ни

иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В этой

небольшой статье даны основы дифференциального исчисления. Правила

дифференцирования приводятся без доказательств, хотя есть указания на то,

что здесь все можно обосновать, рассматривая дифференциалы как бесконечно

малые разности. Определение дифференциала функции дано как произведение

производной (но производная задается геометрически как отношение ординаты к

подкасательной) на дифференциал аргумента. Последний можно задавать

произвольно. Еще не вводится определенное соглашение относительно выбора

знака для длин отрезков, которыми оперирует Лейбниц, поэтому он привод

некоторые формулы с двумя знаками. В статье были опечатки, затруднявшие

чтение, были и ошибочные утверждения (относительно определения точек

перегиба). Но в ней были и эффективные примеры применения нового алгоритма,

и автор, приведя их, имел право заявить: «Во всех таких и много более

сложных случаях наш метод обладает одной и той же поразительной и прямо

беспримерной легкостью. Но это лишь начала некой более высокой Геометрии,

которая распространяется на труднейшие и прекраснейшие задачи прикладной

математики, и едва ли кому-нибудь удастся заняться с той же легкостью

такими вещами, не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или ему

подобным».

Год 1690-й отмечает новый этап: начинается переписка и многолетнее

научное общение Лейбница с Яковом Бернулли, а затем и его младшим братом

Иоганном, напечатана первая работа по анализу старшего из братьев, и оба

они, математики первого ранга, отныне все усилия приложат для развития

нового исчисления.

Через посредство И. Бернулли с новым исчислением знакомится и

становится его приверженцем самый значительный французский механик тех лет

П. Вариньон.

На Лейбница появление приверженцев его метода и умножение примеров,

показывающих плодотворность созданного им исчисления, действовало

стимулирующе.

Новые результаты Лейбница достаточно разнообразны. Некоторые из них

относятся к технике дифференцирования. Так, в «Новом методе...» 1684 г.

дифференцируются только алгебраические функции, рациональные и

иррациональные, и, в неявном виде, логарифм, а в 90-е годы Лейбниц, можно

сказать, мимоходом в различных работах указывает дифференциалы синуса и

арксинуса, функции вида uv, где основание и показатель степени — функции

независимого переменного, вводит дифференцирование по параметру. Позже

Лейбниц дает носящую его имя формулу для дифференциала любого порядка от

произведения функций. Можно сказать, что на этой стадии операция

дифференцирования у Лейбница охватила весь запас известных тогда функций.

Другая группа результатов Лейбница относится к дифференциальной

геометрии. Один из наиболее существенных – введение огибающей семейства

плоских кривых, зависящих от некоторого параметра.

В третью группу можно объединить результаты по интегральному

исчислению. Кроме формул, представляющих собой обращение упомянутых формул

дифференцирования, Лейбниц дал две работы об интегрировании рациональных

дробей (1701 и 1703 гг.). В первой из них он допустил ошибку, сделав вывод,

что при наличии комплексных корней у знаменателя рациональной дроби с

действительными коэффициентами интегрирование должно ввести новые

трансцендентные функции, кроме обратных круговых и логарифмов. Когда же И.

Бернулли указал правильный результат, Лейбниц с ним не согласился и

повторил свое ошибочное заключение во второй работе. Эта ошибка Лейбница –

не только математический недосмотр, она имеет любопытные корни.

Утверждение, что интегралы вида

[pic], [pic]

дают новые трансцендентные функции казалось ему и привлекательным

и правдоподобным еще потому, что это соответствовало лейбницевой

метафизике. Если бы все интегралы такого вида сводились, как выражается

Лейбниц, только к квадратуре гиперболы (т. е. логарифмам) и к

квадратуре круга (к обратным круговым функциям), то все было бы

единообразно. «Но природа, мать вечного разнообразия, или, лучше

сказать, божественный дух слишком цепко оберегает свою прекрасную

многоликость, чтобы допустить слияние всего в одну породу. И таким образом

он находит изящный и удивительный выход в этом чуде анализа, этом

побочном порождении мира идей, двойственном существе как бы между бытием и

небытием, что мы называем мнимым корнем. И посему всякий раз, когда

знаменатель рациональной дроби имеет мнимые корни, что может получиться

бесконечно многими способами, будет мнимой и гипербола, квадратура которой

нам нужна, и ее никоим образом нельзя будет построить».

От Лейбница не ускользнуло и то, что интеграл можно рассматривать как

дифференциал с показателем –1, и это привело его к введению

дифференциалов любых отрицательных и дробных порядков с помощью

бесконечных рядов. Теорию интегралов и производных дробного порядка

развивали в XVIII в. Эйлер, в XIX в. – Лиувилъ, Риман, Летников, в XX в. –

Г. Вейль, М. Рис и др., и сейчас она составляет один из разделов анализа.

Лейбниц же первый в печати указал на то, что операция интегрирования вводит

произвольную постоянную и на связь между определением первообразной функции

и квадратурой. Он указал также, как интегрировать некоторые типы

обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенно то, что Лейбниц

отчетливо определил взаимоотношение интегрирования дифференциальных

уравнений и интегрирования функций (первое следует считать выполненным,

если оно сведено ко второму), и, аналогично, интегрирования функций и

алгебраических операций (например, определение корней знаменателя

подынтегральной рациональной дроби считается при интегрировании задачей

решенной).

Лейбниц много занимался также интегрированием иррациональностей (в

конечном виде, как стали позже выражаться) и глубоко проник в суть этой

проблемы.

Заслугой Лейбница является и применение к интегрированию и функций и

дифференциальных уравнений бесконечных рядов с использованием метода

неопределенных коэффициентов (последний метод восходит к Декарту). Немалое

значение для успехов нового анализа имело достаточно общее введение такого

понятия, как функция, и систематические выступления Лейбница против

ограничения (по Декарту) предмета геометрии изучением алгебраических

кривых. Наконец, Лейбниц на деле доказал достоинства своего исчисления, с

успехом участвуя в конкурсах на решение таких трудных для того времени

задач, как задача Галилея о цепной линии и задача И. Бернулли о

брахистрохроне.

Историческое значение математического творчества Лейбница огромно. Оно

длилось около сорока лет, и за такой сравнительно небольшой срок математика

преобразилась. Наука, в которую вступил Лейбниц, и наука, которую он

оставил, принадлежит разным эпохам, и это плод главным образом его трудов

и трудов его школы. До Лейбница в обширную область неведомого пытались

проникнуть то тут, то там, наскоками, пусть порою очень удачными, не имея

общего плана. Благодаря Лейбницу разрозненные прежде усилия были подчинены

общей программе, прояснились и близкие и далекие цели, средства для их

достижения оказались в распоряжении не только сверходаренных одиночек и

значительно выиграли в эффективности.

§ 4. Язык кванторов и основания математической логики.

В связи с тем, что элементы логики представляют собой неотъемлемую

составную часть школьного обучения математике, они должны изучаться в

единстве с собственно математическим материалом на всех этапах обучения.

Соответствующий язык необходимо вводить постепенно для обозначения уже

разъясненных математических и логических понятий, чтобы в дальнейшем он

становился необходимым компонентом обиходного математического языка.

4.1 Алгебра высказываний.

Эта тема важна для школьной математики. Не овладев ее основными

действиями, нельзя понять последующие темы, как, не овладев таблицами

сложения и умножения, нельзя научиться арифметике и тем более алгебре.

Исходные объекты алгебры высказываний – это простые высказывания. Их

будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c, …, x, y, z.

Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и только

одним из двух свойств: либо оно истинно, либо ложно.

Будем пользоваться почти повсеместно принятой терминологией: свойства

истинности (и) и ложности (л) мы будем называть значениями истинности

высказываний. При такой терминологии значение истинности сложного

высказывания есть функция от значений истинности простых высказываний;

такая функция называется логической связкой.

4.1.1 Определения основных логических связок

а) Отрицание (знак ( ). Если а – высказывание, то (а (читается: «не

а») также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно

или истинно высказывание а.

Таким образом, операция отрицания описывается следующей таблицей:

|a |(a |

|и |л |

|л |и |

Мы видим, что операция ( в теории высказываний вполне соответствует

понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если, например, а –

высказывание «Число три делит число шесть», то отрицанием (а этого

высказывания будет «Число три не делит число шесть». Высказывание а при

этом истинно, высказывание (а, – ложно.

Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное

высказывание, например «Число три делит число пять», то его отрицание (а

будет высказывание «Число три не делит число пять» - истинное высказывание.

б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять

знак ( (можно также &).

Если а и b - высказывания, то а ( b (читается: «а и b») – новое

высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истинно и b

истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одного элементарного

высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки,

зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называются

двуместными связками, отрицание же - связка одноместная.

Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в

виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности

одного элементарного высказывания, столбцы – значениям другого

элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки

помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания а ( b задается матрицей

| |и |л |

|b | | |

|a | | |

|и |и |л |

|л |л |л |

Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответствует

обыденному значению союза «и»:

в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять

знак (.

Если а и b – высказывания, то а ( b (читается: «а или b») – новое

высказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех остальных случаях а ( b

истинно.

Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит

так:

| |и |л |

|b | | |

|a | | |

|и |и |и |

|л |и |л |

Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыденному значению союза

«или».

Примеры.

«Три делит пять или три больше шести» ложно;

«Три делит шесть или три больше шести» истинно;

«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.

г) Импликация. В качестве знака для импликации будем употреблять знак

(.

Если а и b – два высказывания, то а ( b (читается: «а имплицирует b»)

– новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того случая, когда а

истинно, а b ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:

| |и |л |

|b | | |

|a | | |

|и |и |л |

|л |и |и |

В импликации а ( b первый член а называется антецедентом, второй b –

консеквентом.

Операция ( описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи

выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное

условие для b», но на этой аналогии не следует слишком настаивать.

Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и

интерпретируя выражение а ( b как «если а, то b», мы получаем: «Если дважды

два – четыре, то трижды три – девять» – истинное высказывание; «Если дважды

два – пять, то трижды три – восемь» – истинное высказывание и только

высказывание типа «Если дважды два – четыре, то трижды три – восемь» ложно.

По определению импликации сложное высказывание а ( всегда истинно,

если консеквент истинный или если антецедент ложный, что в очень малой мере

отражает обыденное значение выражения «Если а, то b» или «Из а следует b».

Ни в какой мере не следует рассматривать высказывание импликации как

означающее, что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в

том смысле, как это понижается в естественных науках.

Несколько позже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно

выражает понятие логического следования в той форме, как оно употребляется

в математике.

д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак (.

Операция эквиваленции определяется так: если а и b – два высказывания, то а

( b (читается: «а эквивалентно b»; ( соответствует словесному выражению

«...тогда и только тогда, когда...») – новое высказывание, которое истинно,

если либо оба высказывания истинны, либо оба – ложны.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5