Задачи Лоповок

Задачи Лоповок

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых

является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите

наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9,

13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так что имеется 8 точек, через

каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько

отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Известно, что АВ ==3-

см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части

длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см.

Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.

6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X,

которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки автобуса

расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12

км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.

8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль

прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними

пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км,

ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, ... так,

что А\Ач== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, .... Назовите отрезки с концами в

указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между

серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют

развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой

угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их

местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько

раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломерных инструментов

(приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких

углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°,

50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О,

образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:

/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите

градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены неперекрывающиеся

треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине

по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой

угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите

градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно

перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные

углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов записать только нечетными

цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Верно

ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его

вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя

воспользоваться транспортиром. Как определить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно

перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно

перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовавшихся при

пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов,

образовавшихся при пересечении прямых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости построены лучи ОС и 0В

так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ

перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся

пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ —

равные перпендикуляры к АВ. Докажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий

через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам

отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит

ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпендикулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах

сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с

границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам

(рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены

перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точка О — середина ВВ, точка М —

середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ

-1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла

А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить

биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить

биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а

лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС ==

ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А.

Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без

помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Биссектрисы углов, смежных с

углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на

биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2n равных

частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного

треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного

треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^

ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпендикуляр- ОМ; тупые

углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc.

7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы

углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2\, СгСа,

СзСа,,..., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне

отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис.

10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите

периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз

>он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля

постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого

угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане,

проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании я сумме

боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию,

и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других

.'сторон.

70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ ==

ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой

задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя

построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах

угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте,

проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности

боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, если обычное

построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю

доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую

точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых

лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из

которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше

развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Параллельны ли прямые

АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их

в точках А та В, С та О. Равны ли треугольники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К.

Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и

биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной

прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью

этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр

к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую

через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой

данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены

перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения

перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых

равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли

углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного

треугольника АВС. Точки А\ и А-г симметричны А относительно названных

биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не

смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при

тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ,

АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к

основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против

этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отмечены такие точки В,

Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника

АВС.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в

точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остроугольный, и выразите его

углы через углы треугольника АВС.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника

пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы

треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС

отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов

треугольника АВС.

101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны

относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята

такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.

103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая

точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.

104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника

взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника,

чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же углами,

как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника,

делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании.

Найдите углы равнобедренного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные

треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то

биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме

гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что

перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2

ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника,

разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки

М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными

углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше

катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^-

ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по

биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар

вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по

биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар

вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;

больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ,

отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.

11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно

велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в

пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным.

Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ

оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся »

таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника

взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через

центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона

треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что

диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что

ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в

треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . &

125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой в касающиеся

одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность

с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите

периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная

окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через

точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую,

пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух данных окружностей,

причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к

боковой стороне, и радиусу описанной окружности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию,

и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит

биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник

окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных

сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти

окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна

основанию треугольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС.

Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника

АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что

центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность

касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов

треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра

описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти

углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра

описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0\ и Оч — центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.

Зная, что ^- АО\В = //- АОчВ, найдите /- С.

142. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по

точкам А\, В\ и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане,

проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ,

радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается

описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны

соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка

окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата

часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ =

СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины

треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов

треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5