Задачи Лоповок

площади основания.

94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см, ВО == 21см.

Боковое ребро МА == 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите

площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину ребра МС

параллельно диагонали ВО основания (рис. 64)..

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными

боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их

расстояний от вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений,

параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями сечений

12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28

см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины лежат на основании

пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см.

Высота пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб

так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых

гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65).

Найдите ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды

пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите площадь

сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пирамиды имеет длину

15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см.

Найдите площади оснований усечённой пирамиды.

102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной

четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и

25 см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего

основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют

арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см.

Найдите площади оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отрезок, соединяющий

середину малой диагонали большего основания с центром другого основания,

параллелен одному из боковых ребер. Как относятся площади оснований

усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований 2 и 5

дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону

меньшего основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды

относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и

плоскостью основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды

соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии,

которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если

периметры оснований усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильней шестиугольной усеченной пирамиды 5 и 11

см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной

грани, 19 см. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной

пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых

относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды 18 и

36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны

другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной

пирамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды

АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Расстояние от вершины А \ меньшего

основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности

усеченной пирамиды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отношением сторон 3 : 4 и

длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости

основания и равно меньшей диагонали меньшего основания. Найдите площадь

поверхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного

тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного

тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плоскостью, являющееся

правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла правильного тетраэдра

и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите,

что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно перпендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллельные плоскости? Какую

фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде

относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной

пирамиде (п == 4; 6; 3) относительно середины: высоты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал. Постройте отрезок МN, у

которого середина находится на плоскости СС\А, а точка N лежит на ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и серединой на высоте

МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь

плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у -\-

г — 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3; 0), плоскость

которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин квадрата, который

симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два

случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани

МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^', б) данному отрезку с концами

на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плоскости ее основания

точку, равноудаленную от точек Р и У, лежащих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правильной пирамиды МАВС.

Найдите на плоскости АВС точку с наименьшей возможной суммой расстояний от

В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пирамиды МАВС. Постройте

на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек В и Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правильной пирамиды

МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В и Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы АВСА\В\С\

даны точки В и Е. Постройте равнобедренный треугольник, у которого вершина

находится на ВВг, концы основания — на АВ и ВС, а боковые стороны проходят

через В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС правильной пирамиды МЛ.ВС.

Постройте равнобедренный треугольник с вершиной на МВ, концами основания на

АВ и ВС, чтобы боковые стороны содержали В у. Е.

134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО правильной четырехугольной

пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание

лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах МВ и МС, а боковые

стороны содержат точки Е и Р.

135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Постройте на ее поверхности

все точки, принадлежащие плоскости симметрии плоскостей: а)АА\В та СС\Р',

б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В; г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р; е) АА^В и

ВВ\Е;

ж) АА ,С и ВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и

боковое ребро одной равны трем сторонам основания и боковому ребру другой?

Если нет, то какое нужно дополнительное условие, чтобы утверждать, что

призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее основание — квадрат АВСО.

Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально

проектируются: а) в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных призм.

Обоснуйте эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных пирамид.

Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани

соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их

боковых граней соответственно равны?

143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равенство пирамид: а) МАВС и

МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ.

144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Равны ли пирамиды: а) С^ВСВ

и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ;

в) ВАА^В и А^СС^ВЧ

Цилиндр

145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от данной прямой I на. а

и равноудаленные от данных точек А и В?

146. Постройте изображение вписанных в окружность правильного

восьмиугольника и правильного двенадцатиугольника.

147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с

отношением катетов 2 : 3.

148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной

точке М под прямым углом.

149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной

точке М под углом в 60°.

150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого

эллипса.

151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и

равнобокой трапеции с углом 45° при большем основании.

152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у

которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника

относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты.

Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы

на барабан наматывается 225 м троса диаметра 17 мм. Во сколько слоев

наматывается трос?

155. Около данного цилиндра опишите правильную четырехугольную пирамиду,

высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр

касается всех сторон треугольника, его образующие наклонены к плоскости

треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на

диагонали куба с ребром а, а каждая из окружностей оснований касается трех

граней куба, имеющих общую вершину.

Конус

158. В равносторонний конус, образующая которого I, вписана правильная

шестиугольная призма, боковая грань которой — квадрат. Найдите площади

диагональных сечений призмы.

159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на

поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь

осевого сечения конуса.

160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь

может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей

через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения. Найдите угол

между образующей и плоскостью основания конуса.

162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой

равны а. Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68).

Найдите высоту конуса.

163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а. Диагональ АС\ содержит высоту

равностороннего конуса с вершиной А. Окружность основания конуса касается

трех граней куба с общей точкой С1. Найдите образующую конуса.

164. Основание конуса находится на грани АВСВ куба АВСВА\В\С\В\, у

которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\. Найдите

радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой,

которая проходит через: а) В\ и середину ВС; б) В и середину ВС\; в)

середины ВС и ВЁ1 (рис. 69).

Усеченный конус

165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений

усеченного конуса?

166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каждого из которых

концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осевое сечение

этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.

168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится

осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,

что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую

высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по

которой пересекаются поверхности этих конусов.

Сфера и шар

170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной

точки А на все плоскости, проходящие через данную точку В?

171. Из точки М к данному шару можно провести три взаимно

перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы

радиуса Ь?

173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а)

данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?

174. Даны плоскость б и точка М вне ее. Какую фигуру образуют центры сфер

радиуса В, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?

175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной

сфере, имеют равные длины.

176. Плоскость 6 касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = а

взята такая точка С, что ВС == Ь, в ней помещен точечный источник света.

Найдите площадь тени шара на плоскость 6.

177. Диаметры АВ, СВ, ЕР сферы взаимно перпендикулярны. Каждый из них

разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости,

перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости

разделили сферу, если: а) п == 4; б) п == 6; в) п --=- 5; г) п == 8?

178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных сечения,

радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2

см, найдите площади сечений.

179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади

которых 185л и 320я см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих

сечений имеет длину 16 см.

180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра

которой взаимно перпендикулярны.

181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус

сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани

угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой,

сторона основания а. Найдите радиус описанной сферы.

183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-

ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т

Установите, при каком соотношении между I и Н центр описанной сферы

находится внутри пирамиды.

184. У треугольной пирамиды МАВС: МА == ВС ===16 см, МВ == АС =з 19 см,

МС == АВ == 21 см. Определите радиус описанной сферы.

185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани

правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.

186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что

суммы площадей ее противолежащих боковых граней равны?

187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры

описанной и вписанной сфер совпадают.

188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найдите радиус сферы,

которая касается всех ребер пирамиды.

189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая

касается всех ребер тетраэдра.

190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образующая 15 см,

вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.

95

Сфера и ее уравнение

191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по которой пересекаются

поверхности шаров 30л см. Определите расстояние между центрами шаров.

192. Имеется обломок шара. На основании каких построений и измерений вы

могли бы определить его радиус?

193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2 + + г2 = 4 и х2 + у2 +

г2 - 24ж - 12у + 16г - 168 = 0.

194. Установите взаимное расположение сферы х2 + у2 + 4- 22 == 16 и

плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0.

195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и

(3; —1; 5) и касается плоскости ху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямоугольного

параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;

б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих

частей можно было сложить призму, основание которой: а) прямоугольная

трапеция; б) равнобокая трапеция?

198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого расстояния

от центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

199. На ребрах АА\ и ВВ\ прямоугольного параллелепипеда АВСВА\В\С\В\ даны

точки М и N. Постройте плоскость, которая проходит через эти точки и делит

параллелепипед на равные части.

200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых

гранях.

201. Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены последовательными

целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов остальных. Определите

длины ребер этих кубов.

202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов с данной длиной

диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех

положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину,

когда эти числа равны».

203. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры

трех граней 36, 40, 48 см.

204. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина

диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22.

Объем прямого параллелепипеда

205. В прямом параллелепипеде АВС^А\В\С^^\ диагонали АС\ и В^\ взаимно

перпендикулярны и равны 6 и 8 дм. Зная, что ВС == 3 дм, найдите объем

параллелепипеда.

96206. Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда

60°, площади диагональных сечений 56 и 72 см2, длина бокового ребра 4 см.

Найдите объем параллелепипеда.

207. Расстояния от центра прямого, параллелепипеда до основания и боковых

граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = == 70 см. Определите объем

параллелепипеда.

208. Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния от

центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем

параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда

209. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами о и Ь.

Боковое ребро равно I и образует со сторонами основания углы в 45° и 60°.

Найдите объем параллелепипеда.

210. Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские

углы при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда.

Объем призмы

211. Площадь основания правильной четырехугольной призмы О. Длины

диагоналей двух граней относятся, как 1 : 3.

Найдите объем призмы.

212. Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму

правильной призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через центры

оснований, до стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 % полезного

объема,

определите толщину стен.

213. Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основания

а, боковое ребро Ь, у другой сторона основания Ь, боковое ребро а (а > Ь).

У какой из призм объем больше?

214. Две одноименные правильные га-угольные призмы равновелики. У какой

из них больше площадь боковой поверхности

215. Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно

и стенки канала длиной по о. При какой величине угла между дном и стенками

канала его пропускная способность будет наибольшей?

216. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы 'О. Плоскость

проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых

относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения.

217. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Угол между двумя равными

диагоналями призмы, проведенными из одной вершины, 30°. Найдите объем

призмы.

218. Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади

параллельных боковых граней 96 и 264 см2, а площади двух других боковых

граней 156 и 180 см2. Найдите объем призмы.

219. Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306 см2.

Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см2, а площади других боковых

граней 75 и 205 см2. Найдите объем призмы.

220. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность

радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 ; 39 : 16.

Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы.

221. В цилиндр высоты 12 см вписана шестиугольная призма, у которой три

стороны, взятые черве одну, имеют длины по 3 см, остальные стороны

основания — по 5 см. Найдите объем призмы,

222. В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой

длины четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных

сторон основания — по 3 см. Найдите объем призмы.

223. В сферу радиуса Л вписана правильная треугольная призма. Радиус

сферы, проведенный в вершину призмы, наклонен к плоскости боковой грани под

углом к. Найдите объем призмы.

Объем пирамиды

234. Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое боковое

ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°, Найдите объем

пирамиды.

226, Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее основание — трапеция с

длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найдите объем пирамиды.

236. Длин» каждого бокового ребра пирамиды 35 см, стороны основания 20, 34,

60, 66 см. Найдите объезд пирамиды.

227. Высота правильной вдестиурол&ной пирамиды Я, Расстояние от середины

высоты де бокового ребра у 4 раза меньше стороны основания. Найдите объем

пирамиды.

228. Длина пятке ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что

объем пирамиды не более 1 см3.

229. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше

— квадратного корня из произведения длин всех ребер пирамиды.

230. Стороны основания усеченной ' треугольной призмы 28, 45, 53 см, а

боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите

объем усеченной призмы (рис. 70).

Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересекает

все боковые ребра призмы, то полученные части приемы будем называть

усеченными призмами.

231. Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению

площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых

ребер.

232. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними

30°. Плоскость отсекает на трех боковых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см.

Найдите объем той части призмы, которая заключена между основанием и

плоскостью сечения.

233. Основание прямой призмы — трапеция, у' которой стороны АВ == СО ==

13 см, ВС = 18 см, АТ> == 28 см. Плоскость проходит через точку С и

отсекает на ребрах ВВ\ и ВВ\ отрезки по 9 см. Найдите объем части призмы

между основанием и проведенным сечением.

234. В параллелепипеде АВСВА\В\С\0\ точка К — середина ребра АА\, точка М

— середина ребра СС\, ВВ\ = а, КВ\ == Ъ, МВ\ == с, причем ВВ\, КВ\ и МВ1

попарно взаимно перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда.

235. Развертка поверхности пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите

объем пирамиды.

236. Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см. Периметры

двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см. Найдите объем

пирамиды.

237. Даны тетраэдры МАВС и М\А \В\С\, у которых трехгранные углы с

вершинами М и М1 равны. Докажите, что объемы этих тетраэдров относятся, как

произведения длин ребер равных трехгранных углов.

238. Через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой грани

правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение

объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду.

239. Через сторону основания и середину высоты правильной четырехугольной

пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые

при этом разделилась пирамида.

240. Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и

высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды.

241. Докажите» что объем правильной пирамиды меньше

та

-у куба длины ее бокового ребра.

242. Каждое боковое ребро пирамиды МАВСВ равно I. Известно, что ^ АМВ = /-

. ВМС == ^. АМС == 90°, ^ АМО == = ^ СМВ. Найдите объем пирамиды.

243. Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линией

АВ, вершина пирамиды М, О — середина стороны, параллельной средней линии.

Докажите, что объем

пирамиды равен — произведения площади сечения МАВ на з

расстояние от точки О до плоскости МАВ (рис. 71).

244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все

остальные грани — треугольники или трапеции, все вершины которых лежат на

основаниях. Докажите,

что объем многогранника V = — ((?1 + Ог + 4 где и —

радиус шара, а Н — высота сегмента.

275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образующая 10 см,

вписан шар. Через линию касания этих тел проведена плоскость. Найдите

отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступающей из воды части 6

см. Найдите плотность материала, из которого сделан шар.

277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется,

если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

278. Высота равностороннего конуса равна Н и является диаметром шара.

Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

Площадь поверхности цилиндра

279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра

являются осями цилиндрических поверхностей

радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного названными

цилиндрическими поверхностями и основаниями призмы.

102

280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры

боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений

призмы содержит ось цилиндра, найдите площадь полной поверхности цилиндра.

281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали

куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба.

Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности конуса

282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их

полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и

плоскостью основания конуса.

283. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры

боковых граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диагональных сечений пирамиды

содержит высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.

284. Квадрат АВСВ площадью 120 см2, согнув, поместили на поверхности

конуса. При этом диагональ АС совпала с образующей, а диагональ ВО

оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74).

Определите объем и площадь поверхности конуса.

285. Радиус полушара Н. На основании полушара построен конус, каждая

образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2, считая

от вершины. Найдите площадь поверхности этого конуса.

286. В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего возможного объема.

Определите площадь поверхности этого конуса.

287. Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит

каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности

конуса.

Площадь поверхности шара

288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая проходит через все

вершины одной грани и касается параллельной грани куба.

289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найдите площадь сферы,

которая касается вписанной сферы и трех граней куба.

290. Развертка боковой поверхности треугольной пирамиды — квадрат со

стороной а. Найдите площадь сферы, вписанной в эту пирамиду.

291. Докажите, что площадь сферической поверхности шарового сегмента 8 ==

2этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента.

292. Высота правильного тетраэдра Н = 12 см. Точка, равноудаленная от

всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите

площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.

293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на

поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих

шаров.

294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое

ребро призмы проведена плоскость, разделившая призму на части с отношением

объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость

разделила сферу?

295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро

призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением

объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит

сферу?

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5