реферат, рефераты скачать
 

Задачи Лоповок


Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР,

РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для

любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма расстояний между серединами

противолежащих сторон равна ^половине периметра четырехугольника. Докажите,

что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для

любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для

любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно взяты такие

точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == СВ\ '. В\А. Докажите,

что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан

треугольника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков

АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 существует острый

угол, косинус которого равен "

2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше

куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то

существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник,

длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _ КМ.

207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены.

Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме

квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС

== МВ • МО. Выполняется ли это соотношение, если точка М находится вне

прямоугольника?

210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место

равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + ТО2.

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 ++ ВС2 = 4- АВ2, то

АС + ВС = 0. Докажите. л

212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для

любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2 == == МА2 + МВ2 + МС2 + 3 ТМ2.

213. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в

одной точке.

214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в

точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М —

середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедренного треугольника

АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные

стороны квадрата (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и

расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и серединам высот,

проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз

симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые

АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диаметром описанной

окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите,

что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей

четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ

= КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диагонали лежат на осях

координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью

односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ,

перпендикуляр к АВ.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности.

Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с

прямой АВ.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне

отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями

прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около

него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите

величины углов треугольника.

228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр

окружности, которая касается стороны ВС и продолжений двух других сторон,

симметричны относительно ВС. Определите величины углов треугольника АВС.

229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на

которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей

стороне.

231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и серединным перпендикулярам

сторон АВ и АС. }

232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным

перпендикулярам 1\ и 1ч сторон АВ и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите

на СВ такую точку М, чтобы /. АМС — I -- /_ ВМВ == 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и N.

Постройте равнобедренный треугольник, у которого

основание лежит на луче АС, вершина — на луче АВ, а боковые стороны

проходят через М и N.

235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру окружности,

проходящей через точки А, С, ^.

0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, описанной около

треугольника АВС, относительно его сторон. Докажите, что А -АВС == Д

0\0ч0г.

237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0\, Оч, Оз треугольник

АВС.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат АВСВ по положению вершины В и расстояниям от

данной точки М до вершин А у. С.

239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.

240. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону от АС

построены равносторонние треугольники АВВ, ВСР, по другую сторону —

равносторонний треугольник АСЕ. Докажите, что центры этих треугольников

являются вершинами равностороннего треугольника.

241. Точка М находится внутри равностороннего треугольника АВС. Докажите,

что можно построить треугольник, стороны которого соответственно равны

отрезкам МА, МВ, МС.

242. На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне треугольника построены

квадраты АВВК и АСЕМ. Докажите, что отрезок КМ вдвое больше медианы

треугольника, причем КМ 1- АО.

243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания

— данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через

данные точки М ц N.

244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на

трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой,

пересекающей эти окружности.

245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных

концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.

246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ == 90°, МА — МВ

== а. Найдите расстояние от точки М до центра квадрата.

247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что /-

АМВ = 120°, МА — МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра описанной

около треугольника окружности.

248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выполнить такой поворот

около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол

поворота?

249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точку с наименьшей

возможной суммой расстояний от вершин

треугольника.

250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его гипотенузе

вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до

вершины прямого угла треугольника.

Параллельный перенос

251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ. Найдите на СВ

такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и длина отрезка ЕР равнялась а.

252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон,

длинам диагоналей и углу между диагоналями.

253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в

таких точках А\, В\, С\, что А\В\ == В\С\ = а.

254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстояниям между

противоположными сторонами.

255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов

при одной из сторон.

256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с

концами на двух данных окружностях.

257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого

лежат на прямой 1ч и на данной окружности.

258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы

остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до В

и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.

259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки

длиной а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма

равны двум высотам и углу между ними другого параллелограмма. Равны ли эти

параллелограммы?

261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответственно равны

сторонам другой?

262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной

трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем

основании одной трапеции равны основаниям и углам при большем основании

другой.

264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпендикулярные прямые.

Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.

265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.

Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что отрезки

прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.

266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми

симметриями с параллельными осями.

267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы

эти треугольники совместились?

268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили

отрезками, которые пересеклись в точке О. Затем построили параллелограмм

ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \\ ВС и ВР \\ АВ (рис. 36).

Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из

соответственно равных четырехугольников ах при положи

-

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны.

2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3? Если да, укажите центр и

коэффициент гомотетии.

3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые:

а) ах + Ьу — с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у — 5

= О?

4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его

средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого соответственно

перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б) биссектрисам углов

треугольника АВС.

6. Докажите, что середины всех отрезков, которые параллельны стороне АВ

треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане

СР.

7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пределами данной

части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением

длины всех сторон треугольника (рис. 37).

8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной

окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).

9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и

пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что АВ = ЕС.

10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются

в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.

11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной

точке касается данной прямой.

12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух прямых, одна

из которых проходит через точку В, а вторая через центр квадрата.

13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в

точках A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ без ее

концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и

основания АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой

стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и

основания АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения

стороны АВ, а другая — \ продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте

две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют

центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая

касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность,

которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и сумме

катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС

: СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую, которая

отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет

задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других.

Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли

эти треугольники?

25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и

МВВ подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена

прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих точек опущены

перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли, что

основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность

их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите

периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 :

8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у

другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите

длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного

треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли

коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треугольников а, Ь, с и а\,

Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной окружности

до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника

АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что

Точка М находится внутри треугольника АВС.

34. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите,

что точки А\, В\ и середина стороны АВ — вершины равностороннего

треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число

п > 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1\ и 1ч и точки А и В вне этих прямых.

Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают на 1\ и 1ч

отрезки с отношением Длин 2 : 3.

_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е,

чтобы АВ == DЕ == ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями

которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения)

пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ2.

40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче

ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются

прямые МВ и ВО (рис. 39)?

41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На

сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК,

подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника

АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм

42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников

АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4 подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания

соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в

точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили

с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в

точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС •

ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения

отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов

отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и пересекает

прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ\ + АВ • АВ^ ==

АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными

звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите,

что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой

размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см.

Докажите, что эта ломаная имеет не менее четырех звеньев.

52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квадраты с центрами

0\, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сторон треугольника АВС, СцАоОдВ —

параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0\ВСоОз и О^ВцСоВ равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрезки 0\0у. и О^В

равны и взаимно перпендикулярны. Выведите отсюда один из путей построения

треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне

треугольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений.

Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не

пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую

длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°,

90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек.

Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной

прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются

только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и

каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного треугольника. Определите

общее число треугольников.

57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая

больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов

выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти

круги содержат все внутренние точки многоугольника, определите возможные

значения п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиугольника можно

разрезать на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно разделить на п — 2

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.