реферат, рефераты скачать
 

Задачи Лоповок


разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины

углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС

и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, найдите величины остальных углов

треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков

могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число

прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется

хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и

сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот

четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, отличные от

рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть

лежит за пределами доступной части плоскости). Постройте луч с началом М,

направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из

которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено,

какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого

концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм

АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ.

Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпендикулярны.

12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и

расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,

13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания

высот, проведенных из вершины В.

14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равносторонние треугольники

АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.

15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит

параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите

длины сторон.

16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника

проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам

треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит

от выбора точки М.

17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и

продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ

— равнобедренные.

18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1 : 3. Зная, что

длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли

этот четырехугольник прямоугольником?

20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и

—периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?

21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние

стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.

22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону

на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части

диагональ делит угол прямоугольника.

23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону

на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите

угол между диагоналями прямоугольника.

24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отложены равные отрезки ВМ

и СЕ; МК — перпендикуляр, опущенный на АС. Найдите /- ВКЕ.

25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ ==

А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите величины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равноудалена от всех

его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /-

СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСD пересекаются под

углом 45°. Найдите угол между биссектрисами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры окружностей,

описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной

точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной

точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых

сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для

каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений

равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпендикуляры АВ, СЕ и ВР,

причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости,

третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной

ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со стороной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадратной формы. Из-за дождей

границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М

^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек находится на стороне

ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ;

ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от

вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС,

МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С::), и построены

квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону

от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами

квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^

КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата,

построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС

в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной

прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как построить через точки

А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой

отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки

параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной

длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. Постройте через

А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с

разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки

параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с

разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в

точке М и делит названную медиану пополам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ

: АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части.

Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отношении 3:1, считая

от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане,

проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по

серединам этих высот построить параллелограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот,

проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и

основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна середина стороны АВ и

основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в

которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В

пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам.

Найдите длины сторон параллелограмма.

59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты.

Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого

параллелограмма.

60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центрами всех таких

параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и АС,

а одна из вершин находится на стороне ВС?

61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ

== СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются

вершинами квадрата.

62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов

ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.

63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены

перпендикуляры к АВ. Касательная к полуокружности в точке С пересекает эти

перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТ

пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?

64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сторон — А\, В\, С\,

В[. Середины сторон четырехугольника А\В\С\В\ — Л.2, В-г, Сч, Вч. Середины

сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку,

которая находится внутри всех таких четырехугольников.

65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое

большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов

треугольника АВС.

66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в которой

продолжение медианы АВ пересекает описанную окружность.

67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Биссектрисы углов В и

САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N.

Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция

68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треугольников можно сложить

трапецию?

69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части,

имеющие форму трапеции.

70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно разрезать на три части,

имеющие форму трапеции.

71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как разрезать ее на три

равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины

оснований 6 и 10 см?

72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других —

как 3:5. Найдите углы трапеции,

73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны

боковым сторонам. Найдите углы трапеции

74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые

стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.

75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при

большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких

трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных

равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника трапецию, которая

делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между

диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем

основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите

градусные меры углов трапеции.

79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее

основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали

трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каждая из которых

имеет форму непрямоугольной трапеции?

81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований

проходит через данную точку, а боковые стороны соответственно параллельны

двум данным прямым.

Средняя линия трапеции

82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и

равны, то ее высота равна средней линии.

83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один

из рисунков 25—31.

84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и

углам при одном из оснований.

85. На окружности даны точки А и В. Постройте две параллельные хорды АС и

ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.

86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите

угол между диагоналями трапеции.

87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ.

Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р.

Докажите, что ВМ == РС.

88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины

другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под углом,

вдвое меньшим угла, под которым большее основание видно из середины

меньшего. Найдите эти углы.

89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то

окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой

боковой стороны. Докажите.

90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°.

Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней

линией?

91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей

трапеции.

92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку

прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?

93. Окружность, построенная на большем основании трапеции, как на

диаметре, касается меньшего основания и проходит через концы средней линии.

Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Биссектрисы углов А и С

пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через

центр окружности.

95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО.

Зная, что около четырехугольника можно описать окружность, найдите величину

наибольшего угла четырехугольника.

96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.

97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том

случае, когда окружности, построенные на боковых сторонах, как на

диаметрах, касаются.

98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из

точки их пересечения опущены перпендикуляры на все стороны

четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на

одной окружности.

99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены

перпендикуляры МЕ и МР на диагонали прямоугольника. Докажите, что

расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.

100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются

в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\Н делят пополам углы треугольника

А\В\С\.

101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА =

/. МСВ == к. На стороны треугольника

АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти

перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\

углы по ос.

192. Две окружности пересекаются в точках атл.в. Прямая, проходящая через

А, пересекает окружности в точках С и О;

прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите,

что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются?

103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в

точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности

в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей

окружности (рис. 32).

104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб.

Докажите.

105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите,

что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.

106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются

окружности в точках К, Ь, М, N. Можно ли по углам А, В, С определить углы

четырехугольника кьмт

107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите

длину четвертой стороны.

108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в

отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отношении делится точкой касания сторона

АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочисленными координатами

может оказаться внутри окружности?

110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону

квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси,

определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.

111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для международных шашек).

112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры

листа 164 X 203 мм. Две из построенных прямых приняты за оси координат, в

качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными

координатами?

113. Найдите координаты вершин треугольника, если координаты середин его

сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).

114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц и Ул 4- Ус ==' Ув +

Ув > то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.

115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то

средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.

116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить

отрезок, параллельный оси абсцисс, у которого концы находятся на данных

графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В

результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в

точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?

118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ————

получить график у == — —'

119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию

между серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой

стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две

вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной

окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны

находятся на двух данных параллельных прямых, а центр — на данной

окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных

параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на

которой данные окружности отсекают равные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не параллельная АВ. Найдите

на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в

точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпендикулярны. Зная, что Т

(7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на

биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0.

Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с центром М. Зная, что МА +

МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой

окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.

Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину вектора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны

медианам треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не

лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны

которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой,

содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить

четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.