Задачи Лоповок

трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний

треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны

диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р.

Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого градусные меры

трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника

есть две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответственно

параллельные сторонам треугольника, попарно пересекаются вне треугольника.

Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется

равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин

его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая

сторона равна сумме оснований. Найдите площадь прямоугольника, стороны

которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окружность касается его

сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из

которых можно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах,

причем периметр (в сантиметрах) и площадь (в квадратных сантиметрах)

выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадрата АВСВ такие: МА

== 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух

других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся

на этих прямых.

76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник периметра Р. Найдите

площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам —

Н\ и Н 6 8.

86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).

87. Докажите, что в каждом треугольнике

— аЬ + Ь2).

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь,

Нс: (а + Ь + с)

•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей

стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что

площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу

сумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку М,

чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ

делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части

параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости.

Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда

любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограмма К^МN, причем К —

середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой

отрезка А07

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в одной плоскости.

Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить

через эти точки прямые, которые не пересекают ни одной из названных

плоскостей?

16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые

пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая — в точке С и еще

одной, которую требуется построить.

17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины

шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех

параллелограммов.

18. Точка М лежит вне плоскости правильного шестиугольника АВСОЕР. Верно

ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна: а)

АО; б) СО?

19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям

шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА и

МС.

20. Точка М находится вне плоскости правильного пятиугольника АВСОЕ.

Каким сторонам или диагоналям пятиугольника параллельна прямая, проходящая

через центры масс треугольников МАВ и МАЕ7

21. М и N—центры граней АВВ\А\ и ВСС\В\ куба АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам

или диагоналям граней куба параллельна прямая МН?

22. АВСОЕР — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной

плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и ЕР равны и

параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ'!

23. АВСТ) — квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой вершины

квадрата на 7 см. Определите расстояние от середины отрезка МА до середин

всех сторон квадрата.

24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О,

находящаяся вне плоскости шестиугольника, соединена отрезком с каждой его

вершиной. Из центра масс треугольника ОАВ проведены до пересечения в точках

М), Мч, Мз, М^, Мв, Мб с плоскостью шестиугольника прямые, соответственно

параллельные ОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР. Найдите периметр и площадь

шестиугольника М\МчМгМ^МъМ^.

25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их

пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

26. АВСО — квадрат со стороной 6 см, прямые АМ и СТ параллельны. На них

по одну сторону от квадрата отмечены такие точки М и Т, что МА : ТС ==4:3.

На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая

МТ пересекает плоскость квадрата?

Параллельность прямой и плоскости

27. Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каждую точку

плоскости б можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости ()

115. Квадраты АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2. Зная, что расстояние

между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно

перпендикулярны.

116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок АВ имеет

концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45е.

Найдите угол между направлениями I и АВ.

117. АВСО квадрат, плоскость МАО перпендикулярна плоскости квадрата, ММ

\\ АО На АВ дана точка Т. Как построить через эту точку прямую, образующую

равные углы с АВ и Мт

118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО равны по 24 см,

плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Постройте общий

перпендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.

119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего треугольника АВМ взаимно

перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы

МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7,

1). Найдите координаты четвертой вершины.

121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1),

(3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.

122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3;

4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиугольника АВСОЕР: (—3; 7;

5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите координаты остальных вершин и центра

шестиугольника.

124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что

средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой

плоскости.

125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4;

3; 1), С(3; 7; —2)?

126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых находятся в точках А(»;

—1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом

делятся в отношении 1:2.

127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы

сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна

плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7).

Определите координаты точки пересечения.

129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от точек с

координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости. Докажите,

что МА2 + МС2 •==- МВ2 + МО2

131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр масс

которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК == 3 КТ. Докажите, что

АК + ВК + СК + МК = 0.

132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ равные углы,

то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ. Докажите.

133. Верно ли, что, если М. — центр правильного многоугольника А\АчА^...

Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп == = О?

134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от

всех вершин данного правильного многоугольника.

135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину

вектора МА + МВ + МС 4- МО + МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\.

___

136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +

+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^

Ре — центры граней куба.

137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на ней

отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[ || II ВВ) || СС\. Докажите, что:

а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;

б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.

138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно

определить, как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ = р АВ,

где —ооА\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей

через середины ребер АВ и ВС параллельно диагонали В^\.

35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение,

проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет

форму квадрата. Найдите площадь поверхности призмы.

36. В правильной четырехугольной призме сторона основания 2 см, высота 4

см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных

сторон основания и центр призмы (рис. 58).

37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной призмы

АВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^'\ 4см. Найдите площадь сечения, которое проходит через

вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^.

38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ боковая грань и

сечение АВ\С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного сечения

и боковым ребром призмы.

39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треугольной призмы

АВСА\В\С\ так, что сечением оказался равносторонний треугольник КЬМ

периметра 36 см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см. Найдите

угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис. 59).

40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных

сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы,

другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей

сечений.

Параллелепипед

41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра —

параллелограмм. Докажите, что эта призма — параллелепипед.

42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое

меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.

84

43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат площади сечения

с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше

суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух

смежных граней куба втрое меньше диагонали куба.

45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме

квадратов его ребер.

46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см.

Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными

целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.

47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр основания 56 см.

Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17,

10, 9 см. Найдите стороны основания.

48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекаются в точке О.

Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО равны 36, 37, 29 см, АЛ, == 17 см,

АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основания 10 и 11 см.

Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными

четными числами, найдите площади диагональных сечений.

50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в

сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите

расстояния от центра параллелепипеда до вершин.

51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если бы

каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы

274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть

правильным пятиугольником.

53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный

параллелепипед, у которого длина диагонали и?

54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у

которого сумма длин всех ребер 48 см?

Пирамиды

55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной

плоскости?

56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме

плоских углов при всех вершинах пирамиды. Определите число ребер этой

пирамиды.

57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой.

Определите форму основания пирамиды.

58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно построить треугольник,

стороны которого равны суммам скрещивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер

треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые соединяют середины

скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, в 4 раза меньше суммы квадратов

ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоугольными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Докажите, что сумма

квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания

пирамиды.

63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны которого 16 и 22 см.

Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины

боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными

числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между

их проекциями 120°. Найдите высоту пирамида.

65. Основание пирамиды — параллелограмм, периметр которого 48 см. Центр

основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9,

11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды оказаться: а)

равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником; д) трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами

двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной поверхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды

проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды

относятся, как 1:2:5:2. Найдите величины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I и

образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал

ползти из вершины А и, побывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в

ту же точку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды МАВСВЕР равна а,

угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает,

80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на

всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую возможную

длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды,

площадь основания которой равна О, опущены перпендикуляры на плоскости

граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров —

К, Ь, М, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости, и

найдите площадь четырехугольника К^МN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно

перпендикулярны и имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с ними

соотношением: Н 2 + с~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треугольной пирамиды равны,

то высоты пирамиды пересекаются в одной точке Г Докажите

.

Площадь поверхности пирамидах

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины

2, 4, 16 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра

взаимно перпендикулярны, их длины составляют арифметическую прогрессию с

разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная

пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной

четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь

боковой поверхности пирамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каждого диагонального

сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности

пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и

высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади

боковой поверхности пирамиды? Если да,' то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме

площадей остальных боковых граней? Может ли она превысить названную сумму

площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна

сумме площадей основания и диагональных сечений. Найдите величину плоского

угла при вершине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь

поверхности которой О, проведены параллельно боковым ребрам пирамиды прямые

ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды

ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить

сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, чтобы оно

было равносторонним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое

ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его

площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырехугольной пирамиды О.

Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит

эту сторону в отношении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 10 см, а

боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр

основания параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равна а,

боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания АВ и ВС

параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а

боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону

основания перпендикулярно противолежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое

ребро 14 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину

медианы основания перпендикулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю

линию параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю

линию параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5